Решить 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Найдите n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4,014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19,680742802$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Вычтите 5 из -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 47 вместо b и -237 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 47 в квадрат.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Прибавьте 2209 к 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Решите уравнение n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -47 к \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Решите уравнение n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{5053} из -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Уравнение решено.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Прибавьте 232 к обеим частям уравнения.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Если из -232 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Вычтите -232 из 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Разделите 237 на 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Деление \frac{47}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{47}{6}. Затем добавьте квадрат \frac{47}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Возведите \frac{47}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Прибавьте 79 к \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Коэффициент n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Упростите.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Вычтите \frac{47}{6} из обеих частей уравнения.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$