Решить 3b^2-8b-15=0

$$3 b ^ { 2 } - 8 b - 15 = 0$$

Найдите b

$$b = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3,936749892$$

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1,270083225$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -8 вместо b и -15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -8 в квадрат.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -15.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

Прибавьте 64 к 180.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 244.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Число, противоположное -8, равно 8.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

Решите уравнение b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 8 к 2\sqrt{61}.

$$b=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

Разделите 8+2\sqrt{61} на 6.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

Решите уравнение b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{61} из 8.

$$b=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

Разделите 8-2\sqrt{61} на 6.

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Уравнение решено.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Прибавьте 15 к обеим частям уравнения.

$$3b^{2}-8b-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Если из -15 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3b^{2}-8b=-\left(-15\right)$$

Вычтите -15 из 0.

$$3b^{2}-8b=15$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3b^{2}-8b}{3}=\frac{15}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=\frac{15}{3}$$

Разделите 15 на 3.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=5$$

Деление -\frac{8}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{4}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{4}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{4}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

Прибавьте 5 к \frac{16}{9}.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

Коэффициент b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

Упростите.

$$b-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} b-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

Прибавьте \frac{4}{3} к обеим частям уравнения.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$