Решить 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Найдите z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: z^{2}+az+bz+2. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b положительное, a и b являются положительными. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=1 b=2$$

Перепишите z^{2}+3z+2 как \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Вынесите за скобки z в первой и 2 во второй группе.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член z+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите z+1=0 и z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 9 вместо b и 6 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Возведите 9 в квадрат.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Прибавьте 81 к -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Решите уравнение z=\frac{-9±3}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -9 к 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Разделите -6 на 6.

$$z=-1$$

Решите уравнение z=\frac{-9±3}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 3 из -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Разделите -12 на 6.

$$z=-2$$

Уравнение решено.

$$z=-1 z=-2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Если из 6 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Разделите 9 на 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Разделите -6 на 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Разделите 3, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Прибавьте -2 к \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Разложите z^{2}+3z+\frac{9}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Упростите.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$z=-1 z=-2$$