Решить 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Разложить на множители

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Действия по решению

Чтобы разложить выражение на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит это выражение, а в правой — 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -40, а q делит старший коэффициент 3. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-2$$

По теореме Безу, x-k является степенью многочлена для каждого корня k. Разделите 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 на x+2, чтобы получить 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Чтобы разложить результат на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит этот результат, а в правой — 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -20, а q делит старший коэффициент 3. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=\frac{5}{3}$$

По теореме Безу, x-k является степенью многочлена для каждого корня k. Разделите 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 на 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5, чтобы получить x^{2}+4. Чтобы разложить результат на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит этот результат, а в правой — 0.

$$x^{2}+4=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 0 и c на 4.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Многочлен x^{2}+4 не разлагается на множители, так как у него нет рациональных корней.

$$x^{2}+4$$

Перепишите разложенное на множители выражение, используя полученные корни.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Вычислить

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$