Решить 3x^2-x-2=0

$$3 { x }^{ 2 } -x-2 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-2. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-1 ab=3\left(-2\right)=-6$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -6 продукта.

$$1,-6 2,-3$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-3 b=2$$

Перепишите 3x^{2}-x-2 как \left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right)$$

Вынесите за скобки 3x в первой и 2 во второй группе.

$$3x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-x-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -1 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times 3}$$

Прибавьте 1 к 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times 3}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±5}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{1±5}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{1±5}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 5.

$$x=\frac{6}{6}$$

Разделите 6 на 6.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{1±5}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 5 из 1.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Привести дробь \frac{-4}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-x-2=0$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}-x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Если из -2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-x=-\left(-2\right)$$

Вычтите -2 из 0.

$$3x^{2}-x=2$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-x}{3}=\frac{2}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Разделите -\frac{1}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{1}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{6} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Прибавьте \frac{2}{3} к \frac{1}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Разложите x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Прибавьте \frac{1}{6} к обеим частям уравнения.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$