Решить 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Найдите x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-372. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -1116 продукта.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

$$a=-36 b=31$$

Перепишите 3x^{2}-5x-372 как \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Вынесите за скобки 3x в первой и 31 во второй группе.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-12, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-12=0 и 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -5 вместо b и -372 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Прибавьте 25 к 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{5±67}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Разделите 72 на 6.

$$x=12$$

Решите уравнение x=\frac{5±67}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 67 из 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Привести дробь \frac{-62}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Прибавьте 372 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Если из -372 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Вычтите -372 из 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Разделите 372 на 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Разделите -\frac{5}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{5}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{6} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Прибавьте 124 к \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Разложите x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Прибавьте \frac{5}{6} к обеим частям уравнения.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$