Решить 3x^2-5x-250=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

Найдите x

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8,333333333$$

$$x=10$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-250. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -750.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

$$a=-30 b=25$$

Перепишите 3x^{2}-5x-250 как \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

Разложите 3x в первом и 25 в второй группе.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-10, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-10=0 и 3x+25=0у.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -5 вместо b и -250 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -250.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

Прибавьте 25 к 3000.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 3025.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{5±55}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к 55.

$$x=\frac{60}{6}$$

Разделите 60 на 6.

$$x=10$$

Решите уравнение x=\frac{5±55}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 55 из 5.

$$x=-\frac{50}{6}$$

Привести дробь \frac{-50}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{25}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Прибавьте 250 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

Если из -250 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

Вычтите -250 из 0.

$$3x^{2}-5x=250$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

Деление -\frac{5}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

Прибавьте \frac{250}{3} к \frac{25}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

Прибавьте \frac{5}{6} к обеим частям уравнения.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$