Решить 3x^2-5x+42=10

$$3 { x }^{ 2 } -5x+42 = 10$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6}\approx 0,833333333+3,157882554i$$

$$x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}\approx 0,833333333-3,157882554i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-5x+42=10$$

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-5x+42-10=10-10$$

Если из 10 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-5x+42-10=0$$

Вычтите 10 из 42.

$$3x^{2}-5x+32=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -5 вместо b и 32 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 32}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 32.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-384}}{2\times 3}$$

Прибавьте 25 к -384.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-359}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из -359.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{359}i}{2\times 3}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{359}i}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к i\sqrt{359}.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{359} из 5.

$$x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6} x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x+42=10$$

Вычтите 42 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-5x+42-42=10-42$$

Если из 42 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-5x=10-42$$

Вычтите 42 из 10.

$$3x^{2}-5x=-32$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{32}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{32}{3}$$

Деление -\frac{5}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{32}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{32}{3}+\frac{25}{36}$$

Прибавьте -\frac{32}{3} к \frac{25}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{359}{36}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{359}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{359}{36}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{359}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{359}i}{6}$$

Прибавьте \frac{5}{6} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6} x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$