Решить 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Найдите x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-60. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -31.

$$a=-36 b=5$$

Перепишите 3x^{2}-31x-60 как \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Разложите 3x в первом и 5 в второй группе.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-12, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-12=0 и 3x+5=0у.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -31 вместо b и -60 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -31 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Прибавьте 961 к 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Число, противоположное -31, равно 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{31±41}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 31 к 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Разделите 72 на 6.

$$x=12$$

Решите уравнение x=\frac{31±41}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 41 из 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Привести дробь \frac{-10}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Прибавьте 60 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Если из -60 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Вычтите -60 из 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Разделите 60 на 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Деление -\frac{31}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{31}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{31}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{31}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Прибавьте 20 к \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Упростите.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Прибавьте \frac{31}{6} к обеим частям уравнения.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$