Решить 3x^2-15x=18

$$3 { x }^{ 2 } -15x=18$$

Найдите x

$$x=-1$$

$$x=6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 18 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-15x-18=0$$

Разделите обе части на 3.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-6. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -6.

$$1,-6 2,-3$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

$$a=-6 b=1$$

Перепишите x^{2}-5x-6 как \left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right)$$

Вынесите за скобки x в x^{2}-6x.

$$x\left(x-6\right)+x-6$$

Вынесите за скобки общий член x-6, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-6=0 и x+1=0у.

$$x=6 x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-15x=18$$

Вычтите 18 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-15x-18=18-18$$

Если из 18 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-15x-18=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -15 вместо b и -18 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -15 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -18.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+216}}{2\times 3}$$

Прибавьте 225 к 216.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 441.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±21}{2\times 3}$$

Число, противоположное -15, равно 15.

$$x=\frac{15±21}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{15±21}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{15±21}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 15 к 21.

$$x=\frac{36}{6}$$

Разделите 36 на 6.

$$x=6$$

Решите уравнение x=\frac{15±21}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 21 из 15.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Разделите -6 на 6.

$$x=-1$$

Уравнение решено.

$$x=6 x=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-15x=18$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=\frac{18}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=\frac{18}{3}$$

Разделите -15 на 3.

$$x^{2}-5x=\frac{18}{3}$$

Разделите 18 на 3.

$$x^{2}-5x=6$$

Деление -5, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

Прибавьте 6 к \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

Коэффициент x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=6 x=-1$$