Решить 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Найдите x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-8. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -24 продукта.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -10.

$$a=-12 b=2$$

Перепишите 3x^{2}-10x-8 как \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Вынесите за скобки 3x в первой и 2 во второй группе.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-4=0 и 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -10 вместо b и -8 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Прибавьте 100 к 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{10±14}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 10 к 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

Разделите 24 на 6.

$$x=4$$

Решите уравнение x=\frac{10±14}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 14 из 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Привести дробь \frac{-4}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Прибавьте 8 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Если из -8 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

Вычтите -8 из 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Разделите -\frac{10}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{5}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{3} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Прибавьте \frac{8}{3} к \frac{25}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Разложите x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Прибавьте \frac{5}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$