Решить 3x^2+5x-2=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x-2 = 0$$

Найдите x

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-2. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=5 ab=3\left(-2\right)=-6$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -6 продукта.

$$-1,6 -2,3$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=-1 b=6$$

Перепишите 3x^{2}+5x-2 как \left(3x^{2}-x\right)+\left(6x-2\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(6x-2\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 2 во второй группе.

$$x\left(3x-1\right)+2\left(3x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-1\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-1=0 и x+2=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+5x-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 5 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+24}}{2\times 3}$$

Прибавьте 25 к 24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$x=\frac{-5±7}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-5±7}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±7}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к 7.

$$x=\frac{2}{6}$$

Привести дробь \frac{2}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±7}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из -5.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Разделите -12 на 6.

$$x=-2$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x-2=0$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}+5x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Если из -2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+5x=-\left(-2\right)$$

Вычтите -2 из 0.

$$3x^{2}+5x=2$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{2}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{2}{3}$$

Разделите \frac{5}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{5}{6}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{6} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Прибавьте \frac{2}{3} к \frac{25}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{49}{36}$$

Разложите x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{7}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{7}{6}$$

Вычтите \frac{5}{6} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$