Решить 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Найдите x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 138 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-138. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -414 продукта.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=-18 b=23$$

Перепишите 3x^{2}+5x-138 как \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Вынесите за скобки 3x в первой и 23 во второй группе.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-6, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-6=0 и 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+5x=138$$

Вычтите 138 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Если из 138 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 5 вместо b и -138 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Прибавьте 25 к 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±41}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Разделите 36 на 6.

$$x=6$$

Решите уравнение x=\frac{-5±41}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 41 из -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Привести дробь \frac{-46}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Разделите 138 на 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Разделите \frac{5}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{5}{6}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{6} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Прибавьте 46 к \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Разложите x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Вычтите \frac{5}{6} из обеих частей уравнения.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$