Решить 3x^2+5x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}\approx -0.833333333+1.518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}\approx -0.833333333-1.518405597i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 5 вместо b и 9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 9}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-108}}{2\times 3}$$

Прибавьте 25 к -108.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из -83.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к i\sqrt{83}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{83} из -5.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+5x+9-9=-9$$

Если из 9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+5x=-9$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Разделите -9 на 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-3$$

Разделите \frac{5}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{5}{6}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{6} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-3+\frac{25}{36}$$

Прибавьте -3 к \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{83}{36}$$

Разложите x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

Вычтите \frac{5}{6} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$