Решить 3x^2+45x-354=0

$$3 { x }^{ 2 } +45x-354=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{697} - 15}{2} \approx 5,700378782$$

$$x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}\approx -20,700378782$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+45x-354=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 45 вместо b и -354 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 3\left(-354\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 45 в квадрат.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 3\left(-354\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-12\left(-354\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -354.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4248}}{2\times 3}$$

Прибавьте 2025 к 4248.

$$x=\frac{-45±\sqrt{6273}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 6273.

$$x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -45 к 3\sqrt{697}.

$$x=\frac{3\sqrt{697}-45}{6}$$

Разделите -45+3\sqrt{697} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{697}-15}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{697} из -45.

$$x=\frac{-3\sqrt{697}-45}{6}$$

Разделите -45-3\sqrt{697} на 6.

$$x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{697}-15}{2} x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+45x-354=0$$

Прибавьте 354 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}+45x-354-\left(-354\right)=-\left(-354\right)$$

Если из -354 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+45x=-\left(-354\right)$$

Вычтите -354 из 0.

$$3x^{2}+45x=354$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+45x}{3}=\frac{354}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{45}{3}x=\frac{354}{3}$$

Разделите 45 на 3.

$$x^{2}+15x=\frac{354}{3}$$

Разделите 354 на 3.

$$x^{2}+15x=118$$

Деление 15, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{15}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{15}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=118+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{15}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=118+\frac{225}{4}$$

Прибавьте 118 к \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{697}{4}$$

Коэффициент x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{697}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{697}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{697}}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{697}}{2}$$

Вычтите \frac{15}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{697}-15}{2} x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}$$