Решить 3x^2+11x=-24

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1,833333333+2,153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1,833333333-2,153807997i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Прибавьте 24 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Если из -24 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

Вычтите -24 из 0.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 11 вместо b и 24 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Возведите 11 в квадрат.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

Прибавьте 121 к -288.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из -167.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -11 к i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{167} из -11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

Разделите -24 на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

Деление \frac{11}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{11}{6}. Затем добавьте квадрат \frac{11}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Возведите \frac{11}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

Прибавьте -8 к \frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

Упростите.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

Вычтите \frac{11}{6} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$