Решить 3sqrt{2x-3}+2sqrt{7-x}=11

$$3 \sqrt{ 2x-3 } +2 \sqrt{ 7-x } =11$$

Найдите x

$$x=6$$

Действия по решению

Вычтите 2\sqrt{7-x} из обеих частей уравнения.

$$3\sqrt{2x-3}=11-2\sqrt{7-x}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(3\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Разложите \left(3\sqrt{2x-3}\right)^{2}.

$$3^{2}\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Вычислите 3 в степени 2 и получите 9.

$$9\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x-3} в степени 2 и получите 2x-3.

$$9\left(2x-3\right)=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Чтобы умножить 9 на 2x-3, используйте свойство дистрибутивности.

$$18x-27=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+4\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{7-x} в степени 2 и получите 7-x.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+4\left(7-x\right)$$

Чтобы умножить 4 на 7-x, используйте свойство дистрибутивности.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+28-4x$$

Чтобы вычислить 149, сложите 121 и 28.

$$18x-27=149-44\sqrt{7-x}-4x$$

Вычтите 149-4x из обеих частей уравнения.

$$18x-27-\left(149-4x\right)=-44\sqrt{7-x}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 149-4x, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$18x-27-149+4x=-44\sqrt{7-x}$$

Вычтите 149 из -27, чтобы получить -176.

$$18x-176+4x=-44\sqrt{7-x}$$

Объедините 18x и 4x, чтобы получить 22x.

$$22x-176=-44\sqrt{7-x}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(22x-176\right)^{2}=\left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(22x-176\right)^{2}.

$$484x^{2}-7744x+30976=\left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Разложите \left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}.

$$484x^{2}-7744x+30976=\left(-44\right)^{2}\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Вычислите -44 в степени 2 и получите 1936.

$$484x^{2}-7744x+30976=1936\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{7-x} в степени 2 и получите 7-x.

$$484x^{2}-7744x+30976=1936\left(7-x\right)$$

Чтобы умножить 1936 на 7-x, используйте свойство дистрибутивности.

$$484x^{2}-7744x+30976=13552-1936x$$

Вычтите 13552 из обеих частей уравнения.

$$484x^{2}-7744x+30976-13552=-1936x$$

Вычтите 13552 из 30976, чтобы получить 17424.

$$484x^{2}-7744x+17424=-1936x$$

Прибавьте 1936x к обеим частям.

$$484x^{2}-7744x+17424+1936x=0$$

Объедините -7744x и 1936x, чтобы получить -5808x.

$$484x^{2}-5808x+17424=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 484 вместо a, -5808 вместо b и 17424 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{\left(-5808\right)^{2}-4\times 484\times 17424}}{2\times 484}$$

Возведите -5808 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-4\times 484\times 17424}}{2\times 484}$$

Умножьте -4 на 484.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-1936\times 17424}}{2\times 484}$$

Умножьте -1936 на 17424.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-33732864}}{2\times 484}$$

Прибавьте 33732864 к -33732864.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{0}}{2\times 484}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{-5808}{2\times 484}$$

Число, противоположное -5808, равно 5808.

$$x=\frac{5808}{2\times 484}$$

Умножьте 2 на 484.

$$x=\frac{5808}{968}$$

Разделите 5808 на 968.

$$x=6$$

Подставьте 6 вместо x в уравнении 3\sqrt{2x-3}+2\sqrt{7-x}=11.

$$3\sqrt{2\times 6-3}+2\sqrt{7-6}=11$$

Упростите. Значение x=6 удовлетворяет уравнению.

$$11=11$$

Уравнение 3\sqrt{2x-3}=-2\sqrt{7-x}+11 имеет уникальное решение.

$$x=6$$