Решить 2x+1=4x^2+4x+5

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0,25+0,968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0,25-0,968245837i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Вычтите 4x из обеих частей уравнения.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Объедините 2x и -4x, чтобы получить -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

Вычтите 5 из 1, чтобы получить -4.

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -4 вместо a, -2 вместо b и -4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте -4 на -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте 16 на -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

Прибавьте 4 к -64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте 2 на -4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

Разделите 2+2i\sqrt{15} на -8.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{15} из 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

Разделите 2-2i\sqrt{15} на -8.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Вычтите 4x из обеих частей уравнения.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Объедините 2x и -4x, чтобы получить -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

Вычтите 1 из 5, чтобы получить 4.

$$-2x-4x^{2}=4$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}-2x=4$$

Разделите обе части на -4.

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Деление на -4 аннулирует операцию умножения на -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

Привести дробь \frac{-2}{-4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

Разделите 4 на -4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

Деление \frac{1}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Прибавьте -1 к \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Вычтите \frac{1}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$