Решить 29x^2+8x+7=0

$$29 x ^ { 2 } + 8 x + 7 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}\approx -0,137931034+0,471544632i$$

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}\approx -0,137931034-0,471544632i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 29 вместо a, 8 вместо b и 7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

Возведите 8 в квадрат.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

Умножьте -4 на 29.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-116\times 7}}{2\times 29}$$

Умножьте -116 на 7.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-812}}{2\times 29}$$

Прибавьте 64 к -812.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-748}}{2\times 29}$$

Извлеките квадратный корень из -748.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{2\times 29}$$

Умножьте 2 на 29.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -8 к 2i\sqrt{187}.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{187}i}{58}$$

Разделите -8+2i\sqrt{187} на 58.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{187} из -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{187}i-8}{58}$$

Разделите -8-2i\sqrt{187} на 58.

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$29x^{2}+8x+7-7=-7$$

Если из 7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$29x^{2}+8x=-7$$

Разделите обе части на 29.

$$\frac{29x^{2}+8x}{29}=-\frac{7}{29}$$

Деление на 29 аннулирует операцию умножения на 29.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x=-\frac{7}{29}$$

Деление \frac{8}{29}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{4}{29}. Затем добавьте квадрат \frac{4}{29} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{7}{29}+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}$$

Возведите \frac{4}{29} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{7}{29}+\frac{16}{841}$$

Прибавьте -\frac{7}{29} к \frac{16}{841}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{187}{841}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{187}{841}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{187}{841}}$$

Упростите.

$$x+\frac{4}{29}=\frac{\sqrt{187}i}{29} x+\frac{4}{29}=-\frac{\sqrt{187}i}{29}$$

Вычтите \frac{4}{29} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$