Решить 28x-6x^2=80

$$28 x - 6 x ^ { 2 } = 80$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{3}\approx 2,333333333+2,808716591i$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{3}\approx 2,333333333-2,808716591i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-6x^{2}+28x=80$$

Вычтите 80 из обеих частей уравнения.

$$-6x^{2}+28x-80=80-80$$

Если из 80 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-6x^{2}+28x-80=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -6 вместо a, 28 вместо b и -80 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-6\right)\left(-80\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Возведите 28 в квадрат.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-6\right)\left(-80\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Умножьте -4 на -6.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+24\left(-80\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Умножьте 24 на -80.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-1920}}{2\left(-6\right)}$$

Прибавьте 784 к -1920.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-1136}}{2\left(-6\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -1136.

$$x=\frac{-28±4\sqrt{71}i}{2\left(-6\right)}$$

Умножьте 2 на -6.

$$x=\frac{-28±4\sqrt{71}i}{-12}$$

Решите уравнение x=\frac{-28±4\sqrt{71}i}{-12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -28 к 4i\sqrt{71}.

$$x=\frac{-28+4\sqrt{71}i}{-12}$$

Разделите -28+4i\sqrt{71} на -12.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-28±4\sqrt{71}i}{-12} при условии, что ± — минус. Вычтите 4i\sqrt{71} из -28.

$$x=\frac{-4\sqrt{71}i-28}{-12}$$

Разделите -28-4i\sqrt{71} на -12.

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{3} x=\frac{7+\sqrt{71}i}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+28x=80$$

Разделите обе части на -6.

$$\frac{-6x^{2}+28x}{-6}=\frac{80}{-6}$$

Деление на -6 аннулирует операцию умножения на -6.

$$x^{2}+\frac{28}{-6}x=\frac{80}{-6}$$

Привести дробь \frac{28}{-6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=\frac{80}{-6}$$

Привести дробь \frac{80}{-6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=-\frac{40}{3}$$

Деление -\frac{14}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=-\frac{40}{3}+\frac{49}{9}$$

Прибавьте -\frac{40}{3} к \frac{49}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=-\frac{71}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{71}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{71}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{3}=\frac{\sqrt{71}i}{3} x-\frac{7}{3}=-\frac{\sqrt{71}i}{3}$$

Прибавьте \frac{7}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{3} x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{3}$$