Решить 27m^2-24m+20=0

$$27 m ^ { 2 } - 24 m + 20 = 0$$

Найдите m

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9}\approx 0,444444444+0,737027731i$$

$$m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}\approx 0,444444444-0,737027731i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$27m^{2}-24m+20=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 27 вместо a, -24 вместо b и 20 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 27\times 20}}{2\times 27}$$

Возведите -24 в квадрат.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 27\times 20}}{2\times 27}$$

Умножьте -4 на 27.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-108\times 20}}{2\times 27}$$

Умножьте -108 на 20.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-2160}}{2\times 27}$$

Прибавьте 576 к -2160.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-1584}}{2\times 27}$$

Извлеките квадратный корень из -1584.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{11}i}{2\times 27}$$

Число, противоположное -24, равно 24.

$$m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{2\times 27}$$

Умножьте 2 на 27.

$$m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{54}$$

Решите уравнение m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{54} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 24 к 12i\sqrt{11}.

$$m=\frac{24+12\sqrt{11}i}{54}$$

Разделите 24+12i\sqrt{11} на 54.

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9}$$

Решите уравнение m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{54} при условии, что ± — минус. Вычтите 12i\sqrt{11} из 24.

$$m=\frac{-12\sqrt{11}i+24}{54}$$

Разделите 24-12i\sqrt{11} на 54.

$$m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}$$

Уравнение решено.

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9} m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$27m^{2}-24m+20=0$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$27m^{2}-24m+20-20=-20$$

Если из 20 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$27m^{2}-24m=-20$$

Разделите обе части на 27.

$$\frac{27m^{2}-24m}{27}=-\frac{20}{27}$$

Деление на 27 аннулирует операцию умножения на 27.

$$m^{2}+\left(-\frac{24}{27}\right)m=-\frac{20}{27}$$

Привести дробь \frac{-24}{27} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m=-\frac{20}{27}$$

Деление -\frac{8}{9}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{4}{9}. Затем добавьте квадрат -\frac{4}{9} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{20}{27}+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{4}{9} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m+\frac{16}{81}=-\frac{20}{27}+\frac{16}{81}$$

Прибавьте -\frac{20}{27} к \frac{16}{81}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m+\frac{16}{81}=-\frac{44}{81}$$

Коэффициент m^{2}-\frac{8}{9}m+\frac{16}{81}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{44}{81}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(m-\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{44}{81}}$$

Упростите.

$$m-\frac{4}{9}=\frac{2\sqrt{11}i}{9} m-\frac{4}{9}=-\frac{2\sqrt{11}i}{9}$$

Прибавьте \frac{4}{9} к обеим частям уравнения.

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9} m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}$$