Решить 27x^2+33x-120=0

$$27 { x }^{ 2 } +33x-120=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{18} \approx 1,583860696$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}\approx -2,806082918$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 27 вместо a, 33 вместо b и -120 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Возведите 33 в квадрат.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Умножьте -4 на 27.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-108\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Умножьте -108 на -120.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 27}$$

Прибавьте 1089 к 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 27}$$

Извлеките квадратный корень из 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 27}$$

Умножьте 2 на 27.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}$$

Решите уравнение x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -33 к 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Разделите -33+3\sqrt{1561} на 54.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18}$$

Решите уравнение x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{1561} из -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Разделите -33-3\sqrt{1561} на 54.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Прибавьте 120 к обеим частям уравнения.

$$27x^{2}+33x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Если из -120 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$27x^{2}+33x=-\left(-120\right)$$

Вычтите -120 из 0.

$$27x^{2}+33x=120$$

Разделите обе части на 27.

$$\frac{27x^{2}+33x}{27}=\frac{120}{27}$$

Деление на 27 аннулирует операцию умножения на 27.

$$x^{2}+\frac{33}{27}x=\frac{120}{27}$$

Привести дробь \frac{33}{27} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{120}{27}$$

Привести дробь \frac{120}{27} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{40}{9}$$

Деление \frac{11}{9}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{11}{18}. Затем добавьте квадрат \frac{11}{18} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

Возведите \frac{11}{18} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{40}{9}+\frac{121}{324}$$

Прибавьте \frac{40}{9} к \frac{121}{324}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{1561}{324}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{1561}{324}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{324}}$$

Упростите.

$$x+\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{1561}}{18} x+\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{1561}}{18}$$

Вычтите \frac{11}{18} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$