Решить 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 256x^{2}+ax+bx+1. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 256 продукта.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -32.

$$a=-16 b=-16$$

Перепишите 256x^{2}-32x+1 как \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right).

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Вынесите за скобки 16x в первой и -1 во второй группе.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 16x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 256 вместо a, -32 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

Возведите -32 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Умножьте -4 на 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Прибавьте 1024 к -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

Число, противоположное -32, равно 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Умножьте 2 на 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

Привести дробь \frac{32}{512} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 32.

$$x=\frac{1}{16}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Разделите обе части на 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

Деление на 256 аннулирует операцию умножения на 256.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

Привести дробь \frac{-32}{256} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 32.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

Разделите -\frac{1}{8}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{1}{16}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{16} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{16} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Прибавьте -\frac{1}{256} к \frac{1}{256}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

Разложите x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Прибавьте \frac{1}{16} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=\frac{1}{16}$$