Решить 25y^2-60y+36

$$25 y ^ { 2 } - 60 y + 36$$

Разложить на множители

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 25y^{2}+ay+by+36. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-60 ab=25\times 36=900$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -60.

$$a=-30 b=-30$$

Перепишите 25y^{2}-60y+36 как \left(25y^{2}-30y\right)+\left(-30y+36\right).

$$\left(25y^{2}-30y\right)+\left(-30y+36\right)$$

Разложите 5y в первом и -6 в второй группе.

$$5y\left(5y-6\right)-6\left(5y-6\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5y-6, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

Способ выделения квадрата двучлена

Этот трехчлен имеет вид квадратного трехчлена, возможно, умноженного на общий множитель. Квадратные трехчлены можно разложить, найдя квадратные корни первого и последнего членов.

$$factor(25y^{2}-60y+36)$$

Найдите наибольший общий делитель коэффициентов.

$$gcf(25,-60,36)=1$$

Найдите квадратный корень первого члена 25y^{2}.

$$\sqrt{25y^{2}}=5y$$

Найдите квадратный корень последнего члена 36.

$$\sqrt{36}=6$$

Квадратный трехчлен равен квадрату двучлена, представляющего собой сумму или разность квадратных корней первого и последнего членов. При этом знак определяется знаком среднего члена квадратного трехчлена.

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$25y^{2}-60y+36=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Возведите -60 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Умножьте -4 на 25.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-100\times 36}}{2\times 25}$$

Умножьте -100 на 36.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3600}}{2\times 25}$$

Прибавьте 3600 к -3600.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±0}{2\times 25}$$

Число, противоположное -60, равно 60.

$$y=\frac{60±0}{2\times 25}$$

Умножьте 2 на 25.

$$y=\frac{60±0}{50}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{6}{5} вместо x_{1} и \frac{6}{5} вместо x_{2}.

$$25y^{2}-60y+36=25\left(y-\frac{6}{5}\right)\left(y-\frac{6}{5}\right)$$

Вычтите \frac{6}{5} из y. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{5y-6}{5}\left(y-\frac{6}{5}\right)$$

Вычтите \frac{6}{5} из y. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{5y-6}{5}\times \frac{5y-6}{5}$$

Умножьте \frac{5y-6}{5} на \frac{5y-6}{5}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)}{5\times 5}$$

Умножьте 5 на 5.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)}{25}$$

Сократите наибольший общий делитель 25 в 25 и 25.

$$25y^{2}-60y+36=\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)$$

Вычислить

$$\left(5y-6\right)^{2}$$