Решить 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 25x^{2}+ax+bx+16. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -40.

$$a=-20 b=-20$$

Перепишите 25x^{2}-40x+16 как \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Разложите 5x в первом и -4 в второй группе.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 25 вместо a, -40 вместо b и 16 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Возведите -40 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Умножьте -4 на 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Умножьте -100 на 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Прибавьте 1600 к -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

Число, противоположное -40, равно 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Умножьте 2 на 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Привести дробь \frac{40}{50} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Если из 16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Разделите обе части на 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Деление на 25 аннулирует операцию умножения на 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Привести дробь \frac{-40}{25} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Деление -\frac{8}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{4}{5}. Затем добавьте квадрат -\frac{4}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{4}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Прибавьте -\frac{16}{25} к \frac{16}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Коэффициент x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Прибавьте \frac{4}{5} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=\frac{4}{5}$$