Решить 25x^2-19x-3=0

$$25 x ^ { 2 } - 19 x - 3 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50}\approx 0,894198405$$

$$x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}\approx -0,134198405$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$25x^{2}-19x-3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 25 вместо a, -19 вместо b и -3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Возведите -19 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Умножьте -4 на 25.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-100\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Умножьте -100 на -3.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+300}}{2\times 25}$$

Прибавьте 361 к 300.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{661}}{2\times 25}$$

Число, противоположное -19, равно 19.

$$x=\frac{19±\sqrt{661}}{2\times 25}$$

Умножьте 2 на 25.

$$x=\frac{19±\sqrt{661}}{50}$$

Решите уравнение x=\frac{19±\sqrt{661}}{50} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 19 к \sqrt{661}.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50}$$

Решите уравнение x=\frac{19±\sqrt{661}}{50} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{661} из 19.

$$x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50} x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-19x-3=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$25x^{2}-19x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Если из -3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$25x^{2}-19x=-\left(-3\right)$$

Вычтите -3 из 0.

$$25x^{2}-19x=3$$

Разделите обе части на 25.

$$\frac{25x^{2}-19x}{25}=\frac{3}{25}$$

Деление на 25 аннулирует операцию умножения на 25.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x=\frac{3}{25}$$

Разделите -\frac{19}{25}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{19}{50}. Затем добавьте квадрат -\frac{19}{50} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\left(-\frac{19}{50}\right)^{2}=\frac{3}{25}+\left(-\frac{19}{50}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{19}{50} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}=\frac{3}{25}+\frac{361}{2500}$$

Прибавьте \frac{3}{25} к \frac{361}{2500}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}=\frac{661}{2500}$$

Разложите x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{50}\right)^{2}=\frac{661}{2500}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{50}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{661}{2500}}$$

Упростите.

$$x-\frac{19}{50}=\frac{\sqrt{661}}{50} x-\frac{19}{50}=-\frac{\sqrt{661}}{50}$$

Прибавьте \frac{19}{50} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50} x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$