Решить 25x^2+150x+216

$$25 x ^ { 2 } + 150 x + 216$$

Разложить на множители

$$\left(5x+12\right)\left(5x+18\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 25x^{2}+ax+bx+216. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=150 ab=25\times 216=5400$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 5400.

$$1,5400 2,2700 3,1800 4,1350 5,1080 6,900 8,675 9,600 10,540 12,450 15,360 18,300 20,270 24,225 25,216 27,200 30,180 36,150 40,135 45,120 50,108 54,100 60,90 72,75$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+5400=5401 2+2700=2702 3+1800=1803 4+1350=1354 5+1080=1085 6+900=906 8+675=683 9+600=609 10+540=550 12+450=462 15+360=375 18+300=318 20+270=290 24+225=249 25+216=241 27+200=227 30+180=210 36+150=186 40+135=175 45+120=165 50+108=158 54+100=154 60+90=150 72+75=147$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 150.

$$a=60 b=90$$

Перепишите 25x^{2}+150x+216 как \left(25x^{2}+60x\right)+\left(90x+216\right).

$$\left(25x^{2}+60x\right)+\left(90x+216\right)$$

Разложите 5x в первом и 18 в второй группе.

$$5x\left(5x+12\right)+18\left(5x+12\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5x+12, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x+12\right)\left(5x+18\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$25x^{2}+150x+216=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-150±\sqrt{150^{2}-4\times 25\times 216}}{2\times 25}$$

Возведите 150 в квадрат.

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500-4\times 25\times 216}}{2\times 25}$$

Умножьте -4 на 25.

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500-100\times 216}}{2\times 25}$$

Умножьте -100 на 216.

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500-21600}}{2\times 25}$$

Прибавьте 22500 к -21600.

$$x=\frac{-150±\sqrt{900}}{2\times 25}$$

Извлеките квадратный корень из 900.

$$x=\frac{-150±30}{2\times 25}$$

Умножьте 2 на 25.

$$x=\frac{-150±30}{50}$$

Решите уравнение x=\frac{-150±30}{50} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -150 к 30.

$$x=-\frac{120}{50}$$

Привести дробь \frac{-120}{50} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=-\frac{12}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-150±30}{50} при условии, что ± — минус. Вычтите 30 из -150.

$$x=-\frac{180}{50}$$

Привести дробь \frac{-180}{50} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=-\frac{18}{5}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте -\frac{12}{5} вместо x_{1} и -\frac{18}{5} вместо x_{2}.

$$25x^{2}+150x+216=25\left(x-\left(-\frac{12}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{18}{5}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$25x^{2}+150x+216=25\left(x+\frac{12}{5}\right)\left(x+\frac{18}{5}\right)$$

Прибавьте \frac{12}{5} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25x^{2}+150x+216=25\times \frac{5x+12}{5}\left(x+\frac{18}{5}\right)$$

Прибавьте \frac{18}{5} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25x^{2}+150x+216=25\times \frac{5x+12}{5}\times \frac{5x+18}{5}$$

Умножьте \frac{5x+12}{5} на \frac{5x+18}{5}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25x^{2}+150x+216=25\times \frac{\left(5x+12\right)\left(5x+18\right)}{5\times 5}$$

Умножьте 5 на 5.

$$25x^{2}+150x+216=25\times \frac{\left(5x+12\right)\left(5x+18\right)}{25}$$

Сократите наибольший общий делитель 25 в 25 и 25.

$$25x^{2}+150x+216=\left(5x+12\right)\left(5x+18\right)$$

Вычислить

$$\left(5x+12\right)\left(5x+18\right)$$