Решить 25n^2-30n+9

$$25 n ^ { 2 } - 30 n + 9$$

Разложить на множители

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 25n^{2}+an+bn+9. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-30 ab=25\times 9=225$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -30.

$$a=-15 b=-15$$

Перепишите 25n^{2}-30n+9 как \left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right).

$$\left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right)$$

Разложите 5n в первом и -3 в второй группе.

$$5n\left(5n-3\right)-3\left(5n-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5n-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Способ выделения квадрата двучлена

Этот трехчлен имеет вид квадратного трехчлена, возможно, умноженного на общий множитель. Квадратные трехчлены можно разложить, найдя квадратные корни первого и последнего членов.

$$factor(25n^{2}-30n+9)$$

Найдите наибольший общий делитель коэффициентов.

$$gcf(25,-30,9)=1$$

Найдите квадратный корень первого члена 25n^{2}.

$$\sqrt{25n^{2}}=5n$$

Найдите квадратный корень последнего члена 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Квадратный трехчлен равен квадрату двучлена, представляющего собой сумму или разность квадратных корней первого и последнего членов. При этом знак определяется знаком среднего члена квадратного трехчлена.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$25n^{2}-30n+9=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Возведите -30 в квадрат.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Умножьте -4 на 25.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Умножьте -100 на 9.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Прибавьте 900 к -900.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±0}{2\times 25}$$

Число, противоположное -30, равно 30.

$$n=\frac{30±0}{2\times 25}$$

Умножьте 2 на 25.

$$n=\frac{30±0}{50}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{3}{5} вместо x_{1} и \frac{3}{5} вместо x_{2}.

$$25n^{2}-30n+9=25\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Вычтите \frac{3}{5} из n. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Вычтите \frac{3}{5} из n. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\times \frac{5n-3}{5}$$

Умножьте \frac{5n-3}{5} на \frac{5n-3}{5}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{5\times 5}$$

Умножьте 5 на 5.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{25}$$

Сократите наибольший общий делитель 25 в 25 и 25.

$$25n^{2}-30n+9=\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Вычислить

$$\left(5n-3\right)^{2}$$