Решить 25a^2-40a+16

$$25 a ^ { 2 } - 40 a + 16$$

Разложить на множители

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 25a^{2}+pa+qa+16. Чтобы найти p и q, настройте систему на ее устранение.

$$p+q=-40 pq=25\times 16=400$$

Так как pq является положительным, p и q имеют один и тот же знак. Так как p+q является отрицательным, p и q являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -40.

$$p=-20 q=-20$$

Перепишите 25a^{2}-40a+16 как \left(25a^{2}-20a\right)+\left(-20a+16\right).

$$\left(25a^{2}-20a\right)+\left(-20a+16\right)$$

Разложите 5a в первом и -4 в второй группе.

$$5a\left(5a-4\right)-4\left(5a-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5a-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

Способ выделения квадрата двучлена

Этот трехчлен имеет вид квадратного трехчлена, возможно, умноженного на общий множитель. Квадратные трехчлены можно разложить, найдя квадратные корни первого и последнего членов.

$$factor(25a^{2}-40a+16)$$

Найдите наибольший общий делитель коэффициентов.

$$gcf(25,-40,16)=1$$

Найдите квадратный корень первого члена 25a^{2}.

$$\sqrt{25a^{2}}=5a$$

Найдите квадратный корень последнего члена 16.

$$\sqrt{16}=4$$

Квадратный трехчлен равен квадрату двучлена, представляющего собой сумму или разность квадратных корней первого и последнего членов. При этом знак определяется знаком среднего члена квадратного трехчлена.

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$25a^{2}-40a+16=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Возведите -40 в квадрат.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Умножьте -4 на 25.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Умножьте -100 на 16.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Прибавьте 1600 к -1600.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±0}{2\times 25}$$

Число, противоположное -40, равно 40.

$$a=\frac{40±0}{2\times 25}$$

Умножьте 2 на 25.

$$a=\frac{40±0}{50}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{4}{5} вместо x_{1} и \frac{4}{5} вместо x_{2}.

$$25a^{2}-40a+16=25\left(a-\frac{4}{5}\right)\left(a-\frac{4}{5}\right)$$

Вычтите \frac{4}{5} из a. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{5a-4}{5}\left(a-\frac{4}{5}\right)$$

Вычтите \frac{4}{5} из a. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{5a-4}{5}\times \frac{5a-4}{5}$$

Умножьте \frac{5a-4}{5} на \frac{5a-4}{5}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)}{5\times 5}$$

Умножьте 5 на 5.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)}{25}$$

Сократите наибольший общий делитель 25 в 25 и 25.

$$25a^{2}-40a+16=\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)$$

Вычислить

$$\left(5a-4\right)^{2}$$