Решить 25x^2-90x+77=0

$$25 { x }^{ 2 } -90x+77=0$$

Найдите x

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1,4$$

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2,2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 25 вместо a, -90 вместо b и 77 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Возведите -90 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Умножьте -4 на 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 77}}{2\times 25}$$

Умножьте -100 на 77.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-7700}}{2\times 25}$$

Прибавьте 8100 к -7700.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{400}}{2\times 25}$$

Извлеките квадратный корень из 400.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±20}{2\times 25}$$

Число, противоположное -90, равно 90.

$$x=\frac{90±20}{2\times 25}$$

Умножьте 2 на 25.

$$x=\frac{90±20}{50}$$

Решите уравнение x=\frac{90±20}{50} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 90 к 20.

$$x=\frac{110}{50}$$

Привести дробь \frac{110}{50} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=\frac{11}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{90±20}{50} при условии, что ± — минус. Вычтите 20 из 90.

$$x=\frac{70}{50}$$

Привести дробь \frac{70}{50} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=\frac{7}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Вычтите 77 из обеих частей уравнения.

$$25x^{2}-90x+77-77=-77$$

Если из 77 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$25x^{2}-90x=-77$$

Разделите обе части на 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{77}{25}$$

Деление на 25 аннулирует операцию умножения на 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{77}{25}$$

Привести дробь \frac{-90}{25} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{77}{25}$$

Деление -\frac{18}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{9}{5}. Затем добавьте квадрат -\frac{9}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{77}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{9}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-77+81}{25}$$

Прибавьте -\frac{77}{25} к \frac{81}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{4}{25}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{25}}$$

Упростите.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{2}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{2}{5}$$

Прибавьте \frac{9}{5} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$