Решить 25x^2+30x=12

$$25 { x }^{ 2 } +30x=12$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}\approx 0.316515139$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}\approx -1.516515139$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$25x^{2}+30x=12$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения.

$$25x^{2}+30x-12=12-12$$

Если из 12 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$25x^{2}+30x-12=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 25 вместо a, 30 вместо b и -12 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

Возведите 30 в квадрат.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

Умножьте -4 на 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

Умножьте -100 на -12.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1200}}{2\times 25}$$

Прибавьте 900 к 1200.

$$x=\frac{-30±\sqrt{2100}}{2\times 25}$$

Извлеките квадратный корень из 2100.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{2\times 25}$$

Умножьте 2 на 25.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}$$

Решите уравнение x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -30 к 10\sqrt{21}.

$$x=\frac{10\sqrt{21}-30}{50}$$

Разделите -30+10\sqrt{21} на 50.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50} при условии, что ± — минус. Вычтите 10\sqrt{21} из -30.

$$x=\frac{-10\sqrt{21}-30}{50}$$

Разделите -30-10\sqrt{21} на 50.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+30x=12$$

Разделите обе части на 25.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=\frac{12}{25}$$

Деление на 25 аннулирует операцию умножения на 25.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=\frac{12}{25}$$

Привести дробь \frac{30}{25} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{12}{25}$$

Разделите \frac{6}{5}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{3}{5}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{5} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{12}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{12+9}{25}$$

Прибавьте \frac{12}{25} к \frac{9}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{21}{25}$$

Разложите x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{21}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{25}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{21}}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{21}}{5}$$

Вычтите \frac{3}{5} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$