Решить 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1,587301587+1,387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1,587301587-1,387414183i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Чтобы умножить 25 на 16+8x+x^{2}, используйте свойство дистрибутивности.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Чтобы умножить 7 на 5-x, используйте свойство дистрибутивности.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Чтобы умножить 35-7x на 5+x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Чтобы вычислить 575, сложите 400 и 175.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Объедините 25x^{2} и -7x^{2}, чтобы получить 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Вычтите 295 из обеих частей уравнения.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

Вычтите 295 из 575, чтобы получить 280.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Прибавьте 45x^{2} к обеим частям.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

Объедините 18x^{2} и 45x^{2}, чтобы получить 63x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 63 вместо a, 200 вместо b и 280 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Возведите 200 в квадрат.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Умножьте -4 на 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Умножьте -252 на 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Прибавьте 40000 к -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Извлеките квадратный корень из -30560.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Умножьте 2 на 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Решите уравнение x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -200 к 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

Разделите -200+4i\sqrt{1910} на 126.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Решите уравнение x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} при условии, что ± — минус. Вычтите 4i\sqrt{1910} из -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

Разделите -200-4i\sqrt{1910} на 126.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Чтобы умножить 25 на 16+8x+x^{2}, используйте свойство дистрибутивности.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Чтобы умножить 7 на 5-x, используйте свойство дистрибутивности.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Чтобы умножить 35-7x на 5+x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Чтобы вычислить 575, сложите 400 и 175.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Объедините 25x^{2} и -7x^{2}, чтобы получить 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Прибавьте 45x^{2} к обеим частям.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

Объедините 18x^{2} и 45x^{2}, чтобы получить 63x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Вычтите 575 из обеих частей уравнения.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

Вычтите 575 из 295, чтобы получить -280.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Разделите обе части на 63.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

Деление на 63 аннулирует операцию умножения на 63.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

Привести дробь \frac{-280}{63} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 7.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Деление \frac{200}{63}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{100}{63}. Затем добавьте квадрат \frac{100}{63} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

Возведите \frac{100}{63} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Прибавьте -\frac{40}{9} к \frac{10000}{3969}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Упростите.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Вычтите \frac{100}{63} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$