Решить 24x^2+6x-3=0

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 3.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 8x^{2}+ax+bx-1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -8.

$$-1,8 -2,4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 2.

$$a=-2 b=4$$

Перепишите 8x^{2}+2x-1 как \left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

Вынесите за скобки 2x в 8x^{2}-2x.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Вынесите за скобки общий член 4x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4x-1=0 и 2x+1=0у.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 24 вместо a, 6 вместо b и -3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Умножьте -4 на 24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Умножьте -96 на -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

Прибавьте 36 к 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

Извлеките квадратный корень из 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

Умножьте 2 на 24.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±18}{48} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 18.

$$x=\frac{12}{48}$$

Привести дробь \frac{12}{48} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 12.

$$x=\frac{1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±18}{48} при условии, что ± — минус. Вычтите 18 из -6.

$$x=-\frac{24}{48}$$

Привести дробь \frac{-24}{48} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 24.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Если из -3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

Вычтите -3 из 0.

$$24x^{2}+6x=3$$

Разделите обе части на 24.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

Деление на 24 аннулирует операцию умножения на 24.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

Привести дробь \frac{6}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

Привести дробь \frac{3}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

Деление \frac{1}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

Прибавьте \frac{1}{8} к \frac{1}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

Вычтите \frac{1}{8} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$