Решить 24x^2+16xy+8=84

$$24 { x }^{ 2 } +16xy+8=84$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}$$

$$x=-\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$24x^{2}+16yx+8=84$$

Вычтите 84 из обеих частей уравнения.

$$24x^{2}+16yx+8-84=84-84$$

Если из 84 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$24x^{2}+16yx+8-84=0$$

Вычтите 84 из 8.

$$24x^{2}+16yx-76=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 24 вместо a, 16y вместо b и -76 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16y±\sqrt{\left(16y\right)^{2}-4\times 24\left(-76\right)}}{2\times 24}$$

Возведите 16y в квадрат.

$$x=\frac{-16y±\sqrt{256y^{2}-4\times 24\left(-76\right)}}{2\times 24}$$

Умножьте -4 на 24.

$$x=\frac{-16y±\sqrt{256y^{2}-96\left(-76\right)}}{2\times 24}$$

Умножьте -96 на -76.

$$x=\frac{-16y±\sqrt{256y^{2}+7296}}{2\times 24}$$

Извлеките квадратный корень из 256y^{2}+7296.

$$x=\frac{-16y±8\sqrt{4y^{2}+114}}{2\times 24}$$

Умножьте 2 на 24.

$$x=\frac{-16y±8\sqrt{4y^{2}+114}}{48}$$

Решите уравнение x=\frac{-16y±8\sqrt{4y^{2}+114}}{48} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -16y к 8\sqrt{4y^{2}+114}.

$$x=\frac{8\sqrt{4y^{2}+114}-16y}{48}$$

Разделите -16y+8\sqrt{4y^{2}+114} на 48.

$$x=\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-16y±8\sqrt{4y^{2}+114}}{48} при условии, что ± — минус. Вычтите 8\sqrt{4y^{2}+114} из -16y.

$$x=\frac{-8\sqrt{4y^{2}+114}-16y}{48}$$

Разделите -16y-8\sqrt{4y^{2}+114} на 48.

$$x=-\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3} x=-\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+16yx+8=84$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$24x^{2}+16yx+8-8=84-8$$

Если из 8 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$24x^{2}+16yx=84-8$$

Вычтите 8 из 84.

$$24x^{2}+16yx=76$$

Разделите обе части на 24.

$$\frac{24x^{2}+16yx}{24}=\frac{76}{24}$$

Деление на 24 аннулирует операцию умножения на 24.

$$x^{2}+\frac{16y}{24}x=\frac{76}{24}$$

Разделите 16y на 24.

$$x^{2}+\frac{2y}{3}x=\frac{76}{24}$$

Привести дробь \frac{76}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x^{2}+\frac{2y}{3}x=\frac{19}{6}$$

Разделите \frac{2y}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{y}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{y}{3} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{2y}{3}x+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{y}{3} в квадрат.

$$x^{2}+\frac{2y}{3}x+\frac{y^{2}}{9}=\frac{19}{6}+\frac{y^{2}}{9}$$

Прибавьте \frac{19}{6} к \frac{y^{2}}{9}.

$$x^{2}+\frac{2y}{3}x+\frac{y^{2}}{9}=\frac{y^{2}}{9}+\frac{19}{6}$$

Разложите x^{2}+\frac{2y}{3}x+\frac{y^{2}}{9} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{y}{3}\right)^{2}=\frac{y^{2}}{9}+\frac{19}{6}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{y}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{y^{2}}{9}+\frac{19}{6}}$$

Упростите.

$$x+\frac{y}{3}=\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6} x+\frac{y}{3}=-\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}$$

Вычтите \frac{y}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3} x=-\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}$$

Найдите y

$$y=-\frac{3x}{2}+\frac{19}{4x},x\neq 0$$

Действия по решению линейного уравнения

Вычтите 24x^{2} из обеих частей уравнения.

$$16xy+8=84-24x^{2}$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$16xy=84-24x^{2}-8$$

Вычтите 8 из 84, чтобы получить 76.

$$16xy=76-24x^{2}$$

Разделите обе части на 16x.

$$\frac{16xy}{16x}=\frac{76-24x^{2}}{16x}$$

Деление на 16x аннулирует операцию умножения на 16x.

$$y=\frac{76-24x^{2}}{16x}$$

Разделите 76-24x^{2} на 16x.

$$y=-\frac{3x}{2}+\frac{19}{4x}$$