Решить 23(x-3)^2+2x^2=8

$$23 ( x - 3 ) ^ { 2 } + 2 x ^ { 2 } = 8$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{69+\sqrt{214}i}{25}\approx 2,76+0,585149554i$$

$$x=\frac{-\sqrt{214}i+69}{25}\approx 2,76-0,585149554i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-3\right)^{2}.

$$23\left(x^{2}-6x+9\right)+2x^{2}=8$$

Чтобы умножить 23 на x^{2}-6x+9, используйте свойство дистрибутивности.

$$23x^{2}-138x+207+2x^{2}=8$$

Объедините 23x^{2} и 2x^{2}, чтобы получить 25x^{2}.

$$25x^{2}-138x+207=8$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$25x^{2}-138x+207-8=0$$

Вычтите 8 из 207, чтобы получить 199.

$$25x^{2}-138x+199=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 25 вместо a, -138 вместо b и 199 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-138\right)±\sqrt{\left(-138\right)^{2}-4\times 25\times 199}}{2\times 25}$$

Возведите -138 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-138\right)±\sqrt{19044-4\times 25\times 199}}{2\times 25}$$

Умножьте -4 на 25.

$$x=\frac{-\left(-138\right)±\sqrt{19044-100\times 199}}{2\times 25}$$

Умножьте -100 на 199.

$$x=\frac{-\left(-138\right)±\sqrt{19044-19900}}{2\times 25}$$

Прибавьте 19044 к -19900.

$$x=\frac{-\left(-138\right)±\sqrt{-856}}{2\times 25}$$

Извлеките квадратный корень из -856.

$$x=\frac{-\left(-138\right)±2\sqrt{214}i}{2\times 25}$$

Число, противоположное -138, равно 138.

$$x=\frac{138±2\sqrt{214}i}{2\times 25}$$

Умножьте 2 на 25.

$$x=\frac{138±2\sqrt{214}i}{50}$$

Решите уравнение x=\frac{138±2\sqrt{214}i}{50} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 138 к 2i\sqrt{214}.

$$x=\frac{138+2\sqrt{214}i}{50}$$

Разделите 138+2i\sqrt{214} на 50.

$$x=\frac{69+\sqrt{214}i}{25}$$

Решите уравнение x=\frac{138±2\sqrt{214}i}{50} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{214} из 138.

$$x=\frac{-2\sqrt{214}i+138}{50}$$

Разделите 138-2i\sqrt{214} на 50.

$$x=\frac{-\sqrt{214}i+69}{25}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{69+\sqrt{214}i}{25} x=\frac{-\sqrt{214}i+69}{25}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-3\right)^{2}.

$$23\left(x^{2}-6x+9\right)+2x^{2}=8$$

Чтобы умножить 23 на x^{2}-6x+9, используйте свойство дистрибутивности.

$$23x^{2}-138x+207+2x^{2}=8$$

Объедините 23x^{2} и 2x^{2}, чтобы получить 25x^{2}.

$$25x^{2}-138x+207=8$$

Вычтите 207 из обеих частей уравнения.

$$25x^{2}-138x=8-207$$

Вычтите 207 из 8, чтобы получить -199.

$$25x^{2}-138x=-199$$

Разделите обе части на 25.

$$\frac{25x^{2}-138x}{25}=-\frac{199}{25}$$

Деление на 25 аннулирует операцию умножения на 25.

$$x^{2}-\frac{138}{25}x=-\frac{199}{25}$$

Деление -\frac{138}{25}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{69}{25}. Затем добавьте квадрат -\frac{69}{25} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{138}{25}x+\left(-\frac{69}{25}\right)^{2}=-\frac{199}{25}+\left(-\frac{69}{25}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{69}{25} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{138}{25}x+\frac{4761}{625}=-\frac{199}{25}+\frac{4761}{625}$$

Прибавьте -\frac{199}{25} к \frac{4761}{625}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{138}{25}x+\frac{4761}{625}=-\frac{214}{625}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{138}{25}x+\frac{4761}{625}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{69}{25}\right)^{2}=-\frac{214}{625}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{69}{25}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{214}{625}}$$

Упростите.

$$x-\frac{69}{25}=\frac{\sqrt{214}i}{25} x-\frac{69}{25}=-\frac{\sqrt{214}i}{25}$$

Прибавьте \frac{69}{25} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{69+\sqrt{214}i}{25} x=\frac{-\sqrt{214}i+69}{25}$$