Решить 21y^2-25y-4

$$21 y ^ { 2 } - 25 y - 4$$

Разложить на множители

$$\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 21y^{2}+ay+by-4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-25 ab=21\left(-4\right)=-84$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -25.

$$a=-28 b=3$$

Перепишите 21y^{2}-25y-4 как \left(21y^{2}-28y\right)+\left(3y-4\right).

$$\left(21y^{2}-28y\right)+\left(3y-4\right)$$

Вынесите за скобки 7y в 21y^{2}-28y.

$$7y\left(3y-4\right)+3y-4$$

Вынесите за скобки общий член 3y-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$21y^{2}-25y-4=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 21\left(-4\right)}}{2\times 21}$$

Возведите -25 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 21\left(-4\right)}}{2\times 21}$$

Умножьте -4 на 21.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-84\left(-4\right)}}{2\times 21}$$

Умножьте -84 на -4.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+336}}{2\times 21}$$

Прибавьте 625 к 336.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{961}}{2\times 21}$$

Извлеките квадратный корень из 961.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±31}{2\times 21}$$

Число, противоположное -25, равно 25.

$$y=\frac{25±31}{2\times 21}$$

Умножьте 2 на 21.

$$y=\frac{25±31}{42}$$

Решите уравнение y=\frac{25±31}{42} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 25 к 31.

$$y=\frac{56}{42}$$

Привести дробь \frac{56}{42} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 14.

$$y=\frac{4}{3}$$

Решите уравнение y=\frac{25±31}{42} при условии, что ± — минус. Вычтите 31 из 25.

$$y=-\frac{6}{42}$$

Привести дробь \frac{-6}{42} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$y=-\frac{1}{7}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{4}{3} вместо x_{1} и -\frac{1}{7} вместо x_{2}.

$$21y^{2}-25y-4=21\left(y-\frac{4}{3}\right)\left(y-\left(-\frac{1}{7}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$21y^{2}-25y-4=21\left(y-\frac{4}{3}\right)\left(y+\frac{1}{7}\right)$$

Вычтите \frac{4}{3} из y. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$21y^{2}-25y-4=21\times \frac{3y-4}{3}\left(y+\frac{1}{7}\right)$$

Прибавьте \frac{1}{7} к y, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$21y^{2}-25y-4=21\times \frac{3y-4}{3}\times \frac{7y+1}{7}$$

Умножьте \frac{3y-4}{3} на \frac{7y+1}{7}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$21y^{2}-25y-4=21\times \frac{\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)}{3\times 7}$$

Умножьте 3 на 7.

$$21y^{2}-25y-4=21\times \frac{\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)}{21}$$

Сократите наибольший общий делитель 21 в 21 и 21.

$$21y^{2}-25y-4=\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)$$

Вычислить

$$\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)$$