Решить 21x^2-55x+26=0

$$21 { x }^{ 2 } -55x+26=0$$

Найдите x

$$x=2$$

$$x=\frac{13}{21}\approx 0,619047619$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 21x^{2}+ax+bx+26. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-55 ab=21\times 26=546$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 546.

$$-1,-546 -2,-273 -3,-182 -6,-91 -7,-78 -13,-42 -14,-39 -21,-26$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-546=-547 -2-273=-275 -3-182=-185 -6-91=-97 -7-78=-85 -13-42=-55 -14-39=-53 -21-26=-47$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -55.

$$a=-42 b=-13$$

Перепишите 21x^{2}-55x+26 как \left(21x^{2}-42x\right)+\left(-13x+26\right).

$$\left(21x^{2}-42x\right)+\left(-13x+26\right)$$

Разложите 21x в первом и -13 в второй группе.

$$21x\left(x-2\right)-13\left(x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-2\right)\left(21x-13\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-2=0 и 21x-13=0у.

$$x=2 x=\frac{13}{21}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$21x^{2}-55x+26=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 21 вместо a, -55 вместо b и 26 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{\left(-55\right)^{2}-4\times 21\times 26}}{2\times 21}$$

Возведите -55 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-4\times 21\times 26}}{2\times 21}$$

Умножьте -4 на 21.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-84\times 26}}{2\times 21}$$

Умножьте -84 на 26.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-2184}}{2\times 21}$$

Прибавьте 3025 к -2184.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{841}}{2\times 21}$$

Извлеките квадратный корень из 841.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±29}{2\times 21}$$

Число, противоположное -55, равно 55.

$$x=\frac{55±29}{2\times 21}$$

Умножьте 2 на 21.

$$x=\frac{55±29}{42}$$

Решите уравнение x=\frac{55±29}{42} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 55 к 29.

$$x=\frac{84}{42}$$

Разделите 84 на 42.

$$x=2$$

Решите уравнение x=\frac{55±29}{42} при условии, что ± — минус. Вычтите 29 из 55.

$$x=\frac{26}{42}$$

Привести дробь \frac{26}{42} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{13}{21}$$

Уравнение решено.

$$x=2 x=\frac{13}{21}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}-55x+26=0$$

Вычтите 26 из обеих частей уравнения.

$$21x^{2}-55x+26-26=-26$$

Если из 26 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$21x^{2}-55x=-26$$

Разделите обе части на 21.

$$\frac{21x^{2}-55x}{21}=-\frac{26}{21}$$

Деление на 21 аннулирует операцию умножения на 21.

$$x^{2}-\frac{55}{21}x=-\frac{26}{21}$$

Деление -\frac{55}{21}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{55}{42}. Затем добавьте квадрат -\frac{55}{42} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{55}{21}x+\left(-\frac{55}{42}\right)^{2}=-\frac{26}{21}+\left(-\frac{55}{42}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{55}{42} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{55}{21}x+\frac{3025}{1764}=-\frac{26}{21}+\frac{3025}{1764}$$

Прибавьте -\frac{26}{21} к \frac{3025}{1764}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{55}{21}x+\frac{3025}{1764}=\frac{841}{1764}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{55}{21}x+\frac{3025}{1764}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{55}{42}\right)^{2}=\frac{841}{1764}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{55}{42}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{1764}}$$

Упростите.

$$x-\frac{55}{42}=\frac{29}{42} x-\frac{55}{42}=-\frac{29}{42}$$

Прибавьте \frac{55}{42} к обеим частям уравнения.

$$x=2 x=\frac{13}{21}$$