Решить 20x-2x^2=48

$$20x-2 { x }^{ 2 } =48$$

Найдите x

$$x=4$$

$$x=6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 48 из обеих частей уравнения.

$$20x-2x^{2}-48=0$$

Разделите обе части на 2.

$$10x-x^{2}-24=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}+10x-24=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx-24. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 10.

$$a=6 b=4$$

Перепишите -x^{2}+10x-24 как \left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)$$

Разложите -x в первом и 4 в второй группе.

$$-x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-6, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-6\right)\left(-x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-6=0 и -x+4=0у.

$$x=6 x=4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Вычтите 48 из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+20x-48=48-48$$

Если из 48 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -2 вместо a, 20 вместо b и -48 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Возведите 20 в квадрат.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте -4 на -2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 8 на -48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\left(-2\right)}$$

Прибавьте 400 к -384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 16.

$$x=\frac{-20±4}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 2 на -2.

$$x=\frac{-20±4}{-4}$$

Решите уравнение x=\frac{-20±4}{-4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -20 к 4.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

Разделите -16 на -4.

$$x=4$$

Решите уравнение x=\frac{-20±4}{-4} при условии, что ± — минус. Вычтите 4 из -20.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

Разделите -24 на -4.

$$x=6$$

Уравнение решено.

$$x=4 x=6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Разделите обе части на -2.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=\frac{48}{-2}$$

Деление на -2 аннулирует операцию умножения на -2.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=\frac{48}{-2}$$

Разделите 20 на -2.

$$x^{2}-10x=\frac{48}{-2}$$

Разделите 48 на -2.

$$x^{2}-10x=-24$$

Деление -10, коэффициент x термина, 2 для получения -5. Затем добавьте квадрат -5 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x^{2}-10x+25=-24+25$$

Прибавьте -24 к 25.

$$x^{2}-10x+25=1$$

Коэффициент x^{2}-10x+25. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=1$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Упростите.

$$x-5=1 x-5=-1$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$x=6 x=4$$