Решить 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 20 вместо a, -28 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Возведите -28 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Умножьте -4 на 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Умножьте -80 на -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Прибавьте 784 к 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Извлеките квадратный корень из 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Число, противоположное -28, равно 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Умножьте 2 на 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Решите уравнение x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 28 к 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Разделите 28+12\sqrt{6} на 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} при условии, что ± — минус. Вычтите 12\sqrt{6} из 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Разделите 28-12\sqrt{6} на 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Разделите обе части на 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Деление на 20 аннулирует операцию умножения на 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Привести дробь \frac{-28}{20} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Деление -\frac{7}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{10}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Прибавьте \frac{1}{20} к \frac{49}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Прибавьте \frac{7}{10} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$