Решить 20p^2+33p+16=6

$$20 p ^ { 2 } + 33 p + 16 = 6$$

Найдите p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=-\frac{2}{5}=-0,4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Вычтите 6 из 16, чтобы получить 10.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 20p^{2}+ap+bp+10. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=33 ab=20\times 10=200$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 200.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 33.

$$a=8 b=25$$

Перепишите 20p^{2}+33p+10 как \left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right).

$$\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)$$

Разложите 4p в первом и 5 в второй группе.

$$4p\left(5p+2\right)+5\left(5p+2\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5p+2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5p+2\right)\left(4p+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 5p+2=0 и 4p+5=0у.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$20p^{2}+33p+16-6=6-6$$

Если из 6 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Вычтите 6 из 16.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 20 вместо a, 33 вместо b и 10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Возведите 33 в квадрат.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Умножьте -4 на 20.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-80\times 10}}{2\times 20}$$

Умножьте -80 на 10.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 20}$$

Прибавьте 1089 к -800.

$$p=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

Извлеките квадратный корень из 289.

$$p=\frac{-33±17}{2\times 20}$$

Умножьте 2 на 20.

$$p=\frac{-33±17}{40}$$

Решите уравнение p=\frac{-33±17}{40} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -33 к 17.

$$p=-\frac{16}{40}$$

Привести дробь \frac{-16}{40} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Решите уравнение p=\frac{-33±17}{40} при условии, что ± — минус. Вычтите 17 из -33.

$$p=-\frac{50}{40}$$

Привести дробь \frac{-50}{40} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Уравнение решено.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$20p^{2}+33p+16-16=6-16$$

Если из 16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$20p^{2}+33p=6-16$$

Вычтите 16 из 6.

$$20p^{2}+33p=-10$$

Разделите обе части на 20.

$$\frac{20p^{2}+33p}{20}=-\frac{10}{20}$$

Деление на 20 аннулирует операцию умножения на 20.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{10}{20}$$

Привести дробь \frac{-10}{20} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{1}{2}$$

Деление \frac{33}{20}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{33}{40}. Затем добавьте квадрат \frac{33}{40} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

Возведите \frac{33}{40} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=-\frac{1}{2}+\frac{1089}{1600}$$

Прибавьте -\frac{1}{2} к \frac{1089}{1600}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=\frac{289}{1600}$$

Коэффициент p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{289}{1600}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1600}}$$

Упростите.

$$p+\frac{33}{40}=\frac{17}{40} p+\frac{33}{40}=-\frac{17}{40}$$

Вычтите \frac{33}{40} из обеих частей уравнения.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$