Решить 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 20x^{2}+ax+bx-1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-5 b=4$$

Перепишите 20x^{2}-x-1 как \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Вынесите за скобки 5x в 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Вынесите за скобки общий член 4x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4x-1=0 и 5x+1=0у.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 20 вместо a, -1 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Умножьте -4 на 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Умножьте -80 на -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Прибавьте 1 к 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Извлеките квадратный корень из 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Умножьте 2 на 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Решите уравнение x=\frac{1±9}{40} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Привести дробь \frac{10}{40} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{1±9}{40} при условии, что ± — минус. Вычтите 9 из 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Привести дробь \frac{-8}{40} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Разделите обе части на 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Деление на 20 аннулирует операцию умножения на 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Деление -\frac{1}{20}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{40}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{40} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{40} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Прибавьте \frac{1}{20} к \frac{1}{1600}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Прибавьте \frac{1}{40} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$