Решить 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Найдите x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-600. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 10.

$$a=-20 b=30$$

Перепишите x^{2}+10x-600 как \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Разложите x в первом и 30 в второй группе.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-20, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-20=0 и x+30=0у.

$$x=20 x=-30$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 25 вместо a, 250 вместо b и -15000 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Возведите 250 в квадрат.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Умножьте -4 на 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Умножьте -100 на -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Прибавьте 62500 к 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Извлеките квадратный корень из 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Умножьте 2 на 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Решите уравнение x=\frac{-250±1250}{50} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -250 к 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Разделите 1000 на 50.

$$x=20$$

Решите уравнение x=\frac{-250±1250}{50} при условии, что ± — минус. Вычтите 1250 из -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Разделите -1500 на 50.

$$x=-30$$

Уравнение решено.

$$x=20 x=-30$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Прибавьте 15000 к обеим частям уравнения.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Если из -15000 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Вычтите -15000 из 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Разделите обе части на 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

Деление на 25 аннулирует операцию умножения на 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Разделите 250 на 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Разделите 15000 на 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Деление 10, коэффициент x термина, 2 для получения 5. Затем добавьте квадрат 5 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Прибавьте 600 к 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Коэффициент x^{2}+10x+25. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Упростите.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$x=20 x=-30$$