Решить 2z^2-23z+30

$$2 z ^ { 2 } - 23 z + 30$$

Разложить на множители

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 2z^{2}+az+bz+30. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-23 ab=2\times 30=60$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -23.

$$a=-20 b=-3$$

Перепишите 2z^{2}-23z+30 как \left(2z^{2}-20z\right)+\left(-3z+30\right).

$$\left(2z^{2}-20z\right)+\left(-3z+30\right)$$

Разложите 2z в первом и -3 в второй группе.

$$2z\left(z-10\right)-3\left(z-10\right)$$

Вынесите за скобки общий член z-10, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$2z^{2}-23z+30=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 2\times 30}}{2\times 2}$$

Возведите -23 в квадрат.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 2\times 30}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-8\times 30}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 30.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-240}}{2\times 2}$$

Прибавьте 529 к -240.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 289.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±17}{2\times 2}$$

Число, противоположное -23, равно 23.

$$z=\frac{23±17}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$z=\frac{23±17}{4}$$

Решите уравнение z=\frac{23±17}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 23 к 17.

$$z=\frac{40}{4}$$

Разделите 40 на 4.

$$z=10$$

Решите уравнение z=\frac{23±17}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 17 из 23.

$$z=\frac{6}{4}$$

Привести дробь \frac{6}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$z=\frac{3}{2}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте 10 вместо x_{1} и \frac{3}{2} вместо x_{2}.

$$2z^{2}-23z+30=2\left(z-10\right)\left(z-\frac{3}{2}\right)$$

Вычтите \frac{3}{2} из z. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$2z^{2}-23z+30=2\left(z-10\right)\times \frac{2z-3}{2}$$

Сократите наибольший общий делитель 2 в 2 и 2.

$$2z^{2}-23z+30=\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

Вычислить

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$