Решить 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

Найдите z

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0,5+1,5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0,5-1,5i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -2 вместо b и 5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

Прибавьте 4 к -40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из -36.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Решите уравнение z=\frac{2±6i}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

Разделите 2+6i на 4.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Решите уравнение z=\frac{2±6i}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 6i из 2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

Разделите 2-6i на 4.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Уравнение решено.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

Разделите -2 на 2.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Прибавьте -\frac{5}{2} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Коэффициент z^{2}-z+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Упростите.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$