Решить 2z^2+11z+18=0

$$2 z ^ { 2 } + 11 z + 18 = 0$$

Найдите z

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4}\approx -2,75+1,198957881i$$

$$z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}\approx -2,75-1,198957881i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2z^{2}+11z+18=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 11 вместо b и 18 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Возведите 11 в квадрат.

$$z=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$z=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 18}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 18.

$$z=\frac{-11±\sqrt{121-144}}{2\times 2}$$

Прибавьте 121 к -144.

$$z=\frac{-11±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из -23.

$$z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{4}$$

Решите уравнение z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -11 к i\sqrt{23}.

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4}$$

Решите уравнение z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{23} из -11.

$$z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}$$

Уравнение решено.

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4} z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}+11z+18=0$$

Вычтите 18 из обеих частей уравнения.

$$2z^{2}+11z+18-18=-18$$

Если из 18 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2z^{2}+11z=-18$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2z^{2}+11z}{2}=-\frac{18}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z=-\frac{18}{2}$$

Разделите -18 на 2.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z=-9$$

Деление \frac{11}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{11}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{11}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}=-9+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{11}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z+\frac{121}{16}=-9+\frac{121}{16}$$

Прибавьте -9 к \frac{121}{16}.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z+\frac{121}{16}=-\frac{23}{16}$$

Коэффициент z^{2}+\frac{11}{2}z+\frac{121}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z+\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Упростите.

$$z+\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} z+\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Вычтите \frac{11}{4} из обеих частей уравнения.

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4} z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}$$