Решить 2y^2+5y-2=0

$$2 y ^ { 2 } + 5 y - 2 = 0$$

Найдите y

$$y=\frac{\sqrt{41}-5}{4}\approx 0,350781059$$

$$y=\frac{-\sqrt{41}-5}{4}\approx -2,850781059$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2y^{2}+5y-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 5 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -2.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+16}}{2\times 2}$$

Прибавьте 25 к 16.

$$y=\frac{-5±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$y=\frac{-5±\sqrt{41}}{4}$$

Решите уравнение y=\frac{-5±\sqrt{41}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к \sqrt{41}.

$$y=\frac{\sqrt{41}-5}{4}$$

Решите уравнение y=\frac{-5±\sqrt{41}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{41} из -5.

$$y=\frac{-\sqrt{41}-5}{4}$$

Уравнение решено.

$$y=\frac{\sqrt{41}-5}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-5}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+5y-2=0$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$2y^{2}+5y-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Если из -2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2y^{2}+5y=-\left(-2\right)$$

Вычтите -2 из 0.

$$2y^{2}+5y=2$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2y^{2}+5y}{2}=\frac{2}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y=\frac{2}{2}$$

Разделите 2 на 2.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y=1$$

Деление \frac{5}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y+\frac{25}{16}=1+\frac{25}{16}$$

Прибавьте 1 к \frac{25}{16}.

$$y^{2}+\frac{5}{2}y+\frac{25}{16}=\frac{41}{16}$$

Коэффициент y^{2}+\frac{5}{2}y+\frac{25}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Упростите.

$$y+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} y+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Вычтите \frac{5}{4} из обеих частей уравнения.

$$y=\frac{\sqrt{41}-5}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-5}{4}$$