Решить 2x-3y=-2text{and}4x+y=2A

$$2 x - 3 y = - 2 \text { and } 4 x + y = 2 A$$

Найдите x, y

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$2x-3y=-2$$

Прибавьте 3y к обеим частям уравнения.

$$2x=3y-2$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Подставьте \frac{3y}{2}-1 вместо x в другом уравнении 4x+y=2A.

$$4\left(\frac{3}{2}y-1\right)+y=2A$$

Умножьте 4 на \frac{3y}{2}-1.

$$6y-4+y=2A$$

Прибавьте 6y к y.

$$7y-4=2A$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$7y=2A+4$$

Разделите обе части на 7.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Подставьте \frac{4+2A}{7} вместо y в x=\frac{3}{2}y-1. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2A+4}{7}-1$$

Умножьте \frac{3}{2} на \frac{4+2A}{7}.

$$x=\frac{3A+6}{7}-1$$

Прибавьте -1 к \frac{6+3A}{7}.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Система решена.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{3}{14}\times 2A\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2A\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3A-1}{7}\\\frac{2A+4}{7}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Чтобы сделать 2x и 4x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 4 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-2\right),2\times 4x+2y=2\times 2A$$

Упростите.

$$8x-12y=-8,8x+2y=4A$$

Вычтите 8x+2y=4A из 8x-12y=-8 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$8x-8x-12y-2y=-8-4A$$

Прибавьте 8x к -8x. Члены 8x и -8x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-12y-2y=-8-4A$$

Прибавьте -12y к -2y.

$$-14y=-8-4A$$

Прибавьте -8 к -4A.

$$-14y=-4A-8$$

Разделите обе части на -14.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Подставьте \frac{4+2A}{7} вместо y в 4x+y=2A. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$4x+\frac{2A+4}{7}=2A$$

Вычтите \frac{4+2A}{7} из обеих частей уравнения.

$$4x=\frac{12A-4}{7}$$

Разделите обе части на 4.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Система решена.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$