Решить 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Найдите x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$2x-3y+10=0$$

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$2x-3y=-10$$

Прибавьте 3y к обеим частям уравнения.

$$2x=3y-10$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Подставьте \frac{3y}{2}-5 вместо x в другом уравнении 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Умножьте 5 на \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Прибавьте \frac{15y}{2} к -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Прибавьте -25 к 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Прибавьте 21 к обеим частям уравнения.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{13}{2}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=\frac{42}{13}$$

Подставьте \frac{42}{13} вместо y в x=\frac{3}{2}y-5. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Умножьте \frac{3}{2} на \frac{42}{13}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Прибавьте -5 к \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Система решена.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Чтобы сделать 2x и 5x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 5 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Упростите.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Вычтите 10x-2y+8=0 из 10x-15y+50=0 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Прибавьте 10x к -10x. Члены 10x и -10x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Прибавьте -15y к 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Прибавьте 50 к -8.

$$-13y+42=0$$

Вычтите 42 из обеих частей уравнения.

$$-13y=-42$$

Разделите обе части на -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Подставьте \frac{42}{13} вместо y в 5x-y+4=0. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Прибавьте -\frac{42}{13} к 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Вычтите \frac{10}{13} из обеих частей уравнения.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Разделите обе части на 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Система решена.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$