Решить 2x^2-x-36=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 36 = 0$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-36. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -72 продукта.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-9 b=8$$

Перепишите 2x^{2}-x-36 как \left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right).

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 4 во второй группе.

$$x\left(2x-9\right)+4\left(2x-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-9\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-9=0 и x+4=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-x-36=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -1 вместо b и -36 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -36.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Прибавьте 1 к 288.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 289.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±17}{2\times 2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±17}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{1±17}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{1±17}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 17.

$$x=\frac{18}{4}$$

Привести дробь \frac{18}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{9}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±17}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 17 из 1.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Разделите -16 на 4.

$$x=-4$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-36=0$$

Прибавьте 36 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Если из -36 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-x=-\left(-36\right)$$

Вычтите -36 из 0.

$$2x^{2}-x=36$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{36}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Разделите 36 на 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=18$$

Разделите -\frac{1}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Прибавьте 18 к \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Разложите x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Прибавьте \frac{1}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$