Решить 2x^2-x=12

$$2 x ^ { 2 } - x = 12$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 1}{4} \approx 2,71221445$$

$$x=\frac{1-\sqrt{97}}{4}\approx -2,21221445$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-x=12$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-x-12=12-12$$

Если из 12 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-x-12=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -1 вместо b и -12 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -12.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+96}}{2\times 2}$$

Прибавьте 1 к 96.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{1±\sqrt{97}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{1±\sqrt{97}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}+1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{1±\sqrt{97}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{97} из 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{97}}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{97}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{97}}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x=12$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{12}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{12}{2}$$

Разделите 12 на 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=6$$

Разделите -\frac{1}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=6+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=6+\frac{1}{16}$$

Прибавьте 6 к \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{97}{16}$$

Разложите x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{97}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{97}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{97}}{4}$$

Прибавьте \frac{1}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{97}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{97}}{4}$$